三维空间刚体运动

旋转矩阵（冗余度高）

旋转矩阵

两个坐标系间的运动被称为刚体运动，（一个旋转+一个平移）这个过程被称为欧氏变换

故可以得出 $$ 矩阵 R 描述旋转本身 -> 旋转矩阵（方向矩阵） $$ 因此欧氏变化用数学表示： $$ a’ = Ra + t $$ 或者表示为： $$ a_1 = R_{12} a_2 + t_{12} $$

$$ R_{12} => 把坐标系2的坐标变换到坐标系1 $$

$$ t_{12} => 从1到2的向量（坐标系1原点指向坐标系2原点的向量） $$

“求我的当前坐标“可以表示为： $$ t_{wc} $$

变换矩阵

为了让多次移动具有线性，引入齐次坐标与变换矩阵，从而将旋转平移写在同一矩阵中，创建线性关系,其中T被称为变换矩阵 [ \(\left\{ \begin{matrix} a' \\ 1 \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} R & t \\ 0^T & 1 \end{matrix} \right\} * \left\{ \begin{matrix} a \\ 1 \end{matrix} \right\} = T \left\{ \begin{matrix} a \\ 1 \end{matrix} \right\}\) ] 总的来看，旋转矩阵和变换矩阵的特点如下：

数学表示 名称  
T_{a} 齐次坐标 特殊欧氏群SE（3）
R_{a} 非齐次坐标 特殊正交群SO（3）

Eigen

Eigen是一个开源的C++库，主要用于高效的线性代数运算，特别是矩阵和向量的操作。它提供了丰富的功能，包括矩阵的乘法、求逆、特征值计算等，支持稠密矩阵和稀疏矩阵，并且可以与多线程、并行计算兼容。

Eigen以其简洁的接口、良好的性能和高效的内存管理著称，广泛应用于计算机视觉、机器学习、物理仿真等领域。它是跨平台的，支持Windows、Linux和macOS等操作系统。

旋转向量和欧拉角

旋转向量

用矩阵表示旋转的缺点：1、表达式冗余大。2、表达形式有限制，要求必须是正交阵。

可以用三维向量表示旋转，六维向量表示变换（1个旋转轴 + 1个旋转角） $$ 旋转轴为向量n，旋转角为\theta，那么可以用 \theta n 描述旋转 $$

$$ 且旋转轴上的向量在旋转后不发生改变，即Rn = n $$

欧拉角（更直观的描述旋转，但存在“万向锁”问题——奇异性）

转角 对应关系
绕物体的Z轴 偏航yaw
绕旋转之后的Y轴 俯仰pitch
绕旋转之后的X轴 滚转roll

四元数（提供不带奇异性的描述，复杂性突出）

一般来说，可以用单位负数描述二维旋转，同理，可以用单位四元数描述三维旋转 $$ q（w,x,y,z）=w+xi+yj+zk \tag{1} $$

$$ q = q_0 +q_1i+q_2j+q_3k={ s,v }^T \tag{2}
其中s=q_0称为实部，v=[ q_1,q_2,q_3 ]^T称为虚部 $$

那么，如何用四元数表示旋转呢 $$ p = [0,x,y,z]^T = [0,v]^T
p’=Rp
p’ = qpq^{-1} $$ 相当于把四元数的3个虚部与空间中的3个实部相对应

四元数与其他旋转的关系

$$ q = [s,v]^T
$$

四元数到旋转矩阵 [ \(R = vv^T + s^2I+2sv^{}+(V^{})2 \\ R = \left\{ \begin{matrix} 1-2y^2-2z^2 & 2xy-2zw & 2xz+2yw \\ 2xy+2zw & 1-2x^2-2z^2 & 2yz-2xw \\ 2xz-2yw & 2yz+2xw & 1-2x^2-2y^2 \end{matrix} \right\} \tag{2}\) ] 四元数到旋转向量 $$ \theta = 2\arccos q_0
[n,n,n]^T = [q,q,q]^T/ \sin(\theta / 2) $$ img

参考资料

https://zhuanlan.zhihu.com/p/45404840